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五年级上奥数培训

发布时间:2019-09-17

  广东博文学校奥数中心趣味思维训练教程 五年级·上册 计算部分 第一章 小数的巧算 1 小数的巧算 小数的计算技巧指小数运算的速算与巧算。 它除了可以灵活运用整数四则计算中我们已经学过的许多速算 与巧算的方法外,还可以利用小数本身的特点。计算时要注意审题,善于观察题目中数字的特征,灵活地运用 小数的性质及运算性质、运算技巧,确定合理简便的算法。 例 1 计算:5.32+2.06+19.4+1.84+7.68(36.3) 例 2 计算:1-0.1-0.01-0.001-……-0.000000001 【0.888888889】 例 3 计算:7.63-4.98+5.26+1.89 【9.8 】 例 4 计算: (1)80×25×2×1.25×0.5×0.4 (2)64×12.5×0.25×0.05 【1000,10】 例 5 计算:0.56×9.8 【5.488】 例 6 计算:0.125÷(3.6÷80)×0.18 【0.5】 想一想,下面各题怎样计算比较简便? (1)4.92÷0.25÷0.4 (2)47.85÷6.38×0.638 (3)36.363÷(1.2121×4) (4) (0.6×1.38)÷(13.8×4.8) 例 7 计算:312.5×12.3-312.5×6.9+312.5 【2000】 例 8 计算:2000×199.9-1999×199.8 【399.8】 例 9 计算:12.9÷0.72+43.5÷3.6 =30 例 10 计算:45.3×3.2+578×0.68+12×9.25 =649 例 11 计算: (1)2.5+3.2+7.5+2.8=16 (2)18.6-9.3-1.6-2.7 =5 例 12 计算: (1)17.483717.481917,4882 =1748 (2)6.25×0.16+264×0.0625+5.2×6.25+0.625×20 =62.5 例 13 计算:0.125×0.25×0.5×64=1 例 14 计算: (1)0.525÷13.125÷4×85.2 =0.852 (2) (4.8×7.5×8.1)÷(2.4×2.5×2.7)=18 例 15 计算:0.9+9.9+99.9+999.9+9999.9+99999.9+999999.9 =1111110.3 例 16 在□内填入适当的数,使等式成立: 73.06-[□×(4.465+5.535)+42.06]=3 例 17 小明在计算某数除以 3.75 时,把除号看成了乘号,得结果 225,求这道题的正确答案。(16) 奥数中心教材 第1页 广东博文学校奥数中心趣味思维训练教程 五年级·上册 例 18 比较下面两个积的大小 A=5.4321×1.2345 B=5.4322×1.2344 (A>B) 练习 1.用简便方法计算下面各题: (1)8.69+7.35+3.41+2.65 (2)10-0.1-0.2-0.3-……-0.9 (3)76.4-42.13-9.76-5.87-6.24 (4)10.56+0.48-1.36+9.52 (5)20.68-(7.21-6.32+3.79) (6)20×12.5×0.8×0.5 (7)76.5×10.2 (8)9.56×4.18-7.3×4.18-0.26×4.18 (9)36÷0.15÷0.3 (11)1.4×56.8+4.32×14 (12)4.56×0.27+483×0.0456+1.9×4.56+0.456×30 (13)1.3÷0.25 (14)117.8÷2.3-4.88÷0.23 (15)8.63×0.25+1.37÷4 2.用简便方法计算下列各题: (1)9.98+14.13+99.89 (2)20.36-7.98-5.02-4.36 (3)6.88+5.29-2.54+3.42-3.29-1.46 (4)13.75-(6.25-4.86)-9.86 (5)1999×0.99×0.9 (6)66.6666÷12.5÷3.7÷0.8÷0.3 (7) (0.39×0.7)÷(0.56×3.9) (8)16.46×15.1+8.54×15.1-25×14.7 (9)7.63×5.4+6.37×5.4-17.5×5.35×0.8 (10)0.625×0.625×……0.625×8×8×……8× 1998 个 0. 625 2×2×……2 1999 个 8 2000 个 2 3.在□里填上合适的数,使等式成立。 0.27×1.5+□×1.5+1.5×0.32=0.77×1.5 4.比较下面两个积的大小: A=9.876543×3.456789 B=9.876544×3.456788 第一节 循环小数 一个小数,从小数部分的某一位起,一个数字或者几个数字依次不断地重复出现,这样的小数叫做循环小 数。 例 1 在下列混合小数中,移动循环节左边的循环点,使新产生的循环小数尽可能大。 ? ?2 7 (1) 3.6181 ?3 ? 8 (2) 0.956956 【分析】把循环节左边的循环点移到最大的数字上面。 奥数中心教材 第2页 广东博文学校奥数中心趣味思维训练教程 五年级·上册 ? 172 ? 解: (1) 3.618 ? 569568 ? 3 (2) 0.9 例 2 划去小数 0. 后面若干位上的数字,再添上表示循环节的两个循环点, 得到一个循环小数, ? 6270 ? ,请找出其中最大和最小的循环小数。 例如: 0.463 ? 63 ?。 ?6 ? ,最小的循环小数是 0.4 解:最大的循环小数是 0.4 ? 997 ? 中,小数点右面第 1997 位上的数字是几?(9) 例 3 在循环小数 0.3021 例 4 在 1÷7+34÷101 的计算结果中,小数点的右面第 100 位上的数字是几?(4) 例 5 一个小于 1 的纯循小数,它的循环节有 5 个数字,已知它小数点右面第 20 位上的数字是 3,第 36 ? 5763 ?) 位上的数字是 4, 第 52 位上的数字是 5, 第 79 位上的数字是 7, 求这个纯循环小数。 (这个纯循环小数是 0.4 ? 76382 ? 中,最少从小数点右面第几位开始到第几位为止的数字之和等于 1987?(从 4 例 6 在循环小数 0.2 小数点右面第 4 位开始到 438 位为止的数字之和才等于 1987) 练习 1.在下列混循环小数中,移动循环节左边的循环点,使新产生的循环小数尽可能小。 ?6 ? 3 (1) 0.4535 ?3 ? 8 (2) 0.956956 ? 2054 ? 小数点右面第 100 位上的数字是几? 2.循环小数 0.370 3.在 2÷7—26÷111 的计算结果中,小数点的右面第 200 位上的数字是几? 4.一个小于 1 的纯循环小数,它的循环节有 3 个数字,已知它的小数右面第 20 位上的数字是 4,第 30 位上的数字是 7,第 40 位上的数字是 9。求这个循环小数。 5.划去小数 0.362070354 后面的若干位上的数字再添上表示循环节的两个圆点,得到一个循环小数,例 ? ,请找出这样的小数中最大的和最小的循环小数。 ? 03 7 如 0.3620 ? 0637 ? ,最少从小数点右面第几位开始,到几位为止的数字之和等于 2010? 9 6.在循环小数 0.674 第二节 大小比较 比较两个小数的大小,先比较它们的整数部分,整数部分的那个数较大;整数部分相同时,比较它们的小 数部分,十分位上的数大的那个数较大;十分位上的数也相同时,比较它们的百分位,百分位上的数大的那个 数较大;百分位上的数也相同时,比较它们的千分位,千分位上的数大的那个数较大…… 如果两个小数所有数位上的数都相同,那么这两个小数的大小相等。 例 1 把下面的小数按从大到小的顺序进行排列,那么先要比较出这八个数的大小。为了便于分析比较, 我们可以把这八个数用竖式排列,并根据小数的性质,把这些小数的末尾添上适当的“0” ,使它们成为小数位 数相同的小数: 0.45=0.450 (4) 4.05=4.050 (1) 0.445=0.445 (5) 0.455=0.455 (3) 0.4=0.400 (7) 0.5=0.500 (2) 奥数中心教材 第3页 广东博文学校奥数中心趣味思维训练教程 五年级·上册 0.345=0.345 (8) 0.405=0.405 (6) 先比较这八个数的整数部分,只有 4.050 的整数部分“4”最大,所以 4.05 应排在第(1)位。 再来比较剩下的七个数,这七个数的整数部分都是“0” ,就比较它们的十分位,只有 0.500 的十分位上 的“5”最大,0.345 的十分位上的“3”最小,所以 0.5 应排在第(2) ,0.345 应排在第(3)位。 现在比较剩下的五个数的百分位,0.450 和 0.455 百分位上的“5”最大,但 0.455 千分位上的数“5” , 比 0.450 千分位上的“0”大,所以 0.455 应排在第(3)位,0.45 应排在第(4)位;其次是 0.445 百分 位上的数“4”所以 0.445 应排在第(5)位;0.400 和 0.405 百分位上的数“0”最小,但 0.405 千分位 上的数是“5” ,比 0.400 千分位上的数“0”大,所以 0.405 应排在第(6)位,0.4 应排在第(7)位。 这样,就确定了这八个数从大到小排列的顺序。 解:这八个数从大到小的排列顺序是: 4.05>0.5>0.455>0.45>0.445>0.405>0.4>0.345 说明 把上面八个小数用竖式排列时,一定要注意把相同数位上的数对齐,这样方便于比较。 例 2 把下面的小数按从小到大的顺序排列起来。 12.23 1.233 ? 1.2 3 1.023 ?3 ? 1.2 12.3 ?3 ? <1.233<1.2 3 ? <12.23<12.3 解:1.023< 1.2 ? , 0.61 ?8 ? , 0.6 ? 18 ? ,0.68 是其中的五个。已知按从大到小顺序排列的第 例 3 有七个数,0.618, 0.618 ? ,那么按从小到大顺序排列的第三个数是多少?(第三个数是 0.6 ? 18 ?) 四个数是 0.618 例 4 用 1,0,5,8 和小数点可以组成许多不同的小数,其中小于 1 的三位小数共有多少个?并将它们按 从小到大的顺序排列出来。 ( 0.158<0.185<0.518<0.581<0.815<0.851) 例 5 现有五个数 A、 B、 C、 D、 E, 如果 A 大于 D; C 大于 B, 而小于 E; B 大于 D; E 小于 A。 那么 > > > 。 (A>E>C>B>D) > 例 6 设 A=9876543×3456789, B=9876544×3456788,那么( ) (A)A>B (B)A=B (C)A<B (D)A≤B 选(A) 例 7 在下面四个算式中,求出最大的得数是谁? (1)1992×1999+1999 (2)1993×1998+1998 (3)1994×1997+1997 (4)1995×1996+1996 第(4)算式 1996×1996 的积最大。 例 11 养鸡专业户要用 96 米长的竹篱笆围成一个长方形或正方形的养鸡场。 若围成长方形则其长是宽的 2 倍, 且一条长边利用旧墙; 若围成正方形, 则也有一条边利用旧墙, 那么 的面积比 的 面积大,大 平方米。 所以长方形的面积比正方形的面积大,第三个空:128。 故应填第一个空:长方形,第二个空:正方形,第三个空:128。 练习 1.判断 A、B、C、D 与 1 的大小关系。 A÷0.1=1, 1.2÷B=1, C×0.03=1, 120×D=1, 奥数中心教材 第4页 广东博文学校奥数中心趣味思维训练教程 五年级·上册 A( )1 , B( )1, C( )1, D( )1。 2.有 24 个整数: 112、106、132、118、107、102、 189、153、142、134、116、254、 168、119、126、445、135、129、 113、251、342、901、710、535. 问:当把这些数从小到大排列起来时,第 12 个数是多少? 3.用 1,7,0,4 这四个数字写成一个四位数,可以写出很多个。把这些四位数从小到大依次排列起来, 那么排在第 10 个的数是多少? 4.如图,是两个红色的圆 和两个蓝色的圆, 红色圆的直径分别是 1992 厘米和 1949 厘米。蓝色圆的直径分别 是 1990 厘米和 1951 厘米,问:红色二圆的面积大 蓝 红 还是蓝色二圆的面积大? 5.把下列小数按从小到大 的顺序排列起来。 蓝 红 ( 1 ) 0 . 72 7 . 02 7 . 2 7.202 0.702 0.722 (2) 6. 565 6. 556 65. 65 56.56 65.56 55.66 60.655 题8 6.把下列小数按从大到小 的顺序排列起来。 (1) 0. 308 (2)9.04 ? 0. 0.308 3083 ?4 ? 9.01 0.994 ?8 ? 0.30 ? 04 ? 9.1 0.3088 10.49 ? 08 ? 0.3 ?4 ? 9.0 ? 9.014 ?0 ? 9.14 ?6 ? ,3.036 是其中的六个,已知按从小到大顺序排 ?6 ? , 0.33 7.有八个数,0.366,0.336,0.36, 0.3 ?6 ? ,那么按从大到小顺序排列的第四、第五个数各是多少? 列的第四个数是 0.33 8.大于 3 而小于 4 的两位小数共有多少个? 应用题 第一章 平均数问题(二) 康大学校甲班和乙班,在数学期末考试中,考一样的题目,哪一个班考得好呢? 把第一个班所有人的得分加起来, 然后除以这个班的人数, 就得出这个班的平均数。 哪一个班平均分数高, 就算哪一个班考的好。 球队员身材都很高,一个队里有高有矮,哪个篮球队身材更高呢? 把一个队所有队员的身高数加起来,再除以全队人数,就算出这个队的平均身高。通常,用平均身高来衡 量一个球队的身材高矮。 要衡量“若干个数”的大小,常用的办法就是求它们的平均数。 求平均数的基本数量关系是: 总数量÷总份数=平均数 这个基本的数量关系还可以写成另外两种形式,也就是: 总数量÷平均数=总份数 平均数×总份数= 总数量 求平均数可以产生许多数学题, 解答这类问题的关键是要找准问题与条件, 条件与条件之间相对应的关系, 通常要确定“总数量”以及与“总数量”相对应的“总份数” ,再求平均数。 我们先通过一些简单例子,增加对“平均”这一概念的理解。 例 1 康大学校三年二班有 40 名学生,期末数学考试,有 2 名同学因故缺考,这时班级平均分为 89 分, 缺考的同学补考各得 99 分,这个班期中考试平均分数是多少? (这个班期中考试数学平均成绩是 89.5 分) 奥数中心教材 第5页 广东博文学校奥数中心趣味思维训练教程 五年级·上册 例 2 康大学校五年级(1) 班 42 名同学进行毕业合影留念。拍 6 寸合影照片可附送 2 张照片,费用为 5. 2 元。如果需要加印,每张加收 0.71 元。现在每人各得一张照片,问平均每人需付多少元? (平均每人需付 0.8 元) 例 3 石峰农场先派 48 人参加收割水稻,前两天收割了 19.2 公顷,后来增加到 66 人,用同样的速度又 割 4 天,他们一共收割了多少公顷? (他们一共收割了 72 公顷) 例 4 在一次登山比赛中,小刚上山每分钟走 40 米,18 分钟到达山顶,然后按原路下山,每分钟走 60 米, 小刚上、下山平均每分钟走多少米?【48(米/分钟) 】 例 5 小华的第一次和第二次数学测验的平均成绩是 82 分,第三次测试后,计算得三次测验的平均成绩是 85 分,问他第三次测验得了多少分? 【91 分】 例 6 康大学校五年级四个班的少先队员为“希望工程”捐款,一班、二班、三班平均每班捐款 24 元,二班、三班、四班平均每班捐款 26 元,已知一班捐款 22 元,求四班捐款多少元?【28(元) 】 例 7 有八个数字排成一列,它们的平均数是 9.3。已知前五个数的平均数是 10.5,后四个数的平均数 是 11.3,问第五个数是多少?【五个数是 23.3】 例 8 甲、乙、丙三个数平均是 6,甲、乙两个数平均是 4,乙、丙两个数平均是 5.3,乙数是多少?甲、 丙两个数平均是多少? 【乙数是 0.6,甲、丙数的平均数是 8.7】 例 9 康大学校五年三班统计数学考试成绩,平均成绩 87.26 分,复查试卷时,发现把李伟的成绩 98 分 误作 89 分计算。经重新计算后,该班平均成绩是 87.44 分,问该班有多少名学生?【50(人) 】 例 10 寒假中,小明兴致勃勃地读《西游记》 ,第一天读 83 页,第二天读 74 页,第三天读 71 页,第四天读 64 页,第五天读的页数,比五天中平均读的页数多 3.2 页,问小明第五天读了多少页?【77 页】 练习 1.用 4 个同样的杯子装水,水面的高度分别是 4 厘米、5 厘米、7 厘米和 8 厘米,这 4 个杯子水面平均高 度是多少厘米? 2.果品店把 2 千克酥糖,3 千克水果糖,5 千克奶糖混合成什锦糖。已知酥糖每千克 4.40 元,水果糖每 千克 4.20 元,奶糖每千克 7.20 元。问什锦糖每千克多少元? 3.缝纫机厂第一季度平均每月生产缝纫机 750 台,第二季度生产的是第一季度生产的 2 倍多 66 台。下半 年平均每月生产 1200 台。求这个厂一年的平均每月产量。 4.从甲地到乙地全程是 60 千米,小宏骑自行车从甲地到乙地的速度是每小时 15 千米,从乙地返回甲地 的速度是每小时 10 千米。求这个往返行程中的平均速度。 5.王新同学期末考试成绩如下:语文和数学平均成绩是 94 分;数学和外语平均成绩是 88 分;外语和语 文平均成绩是 86 分。王新同学语文、数学、外语各得多少分? 6.小明前几次数学测验的平均成绩是 84 分,这一次要考 100 分,才能把平均成绩提高到 86 分,问这一 次是第几次测验? 7.芳芳上学期期末考试成绩:语文 87 分,数学 96 分,地理 93 分,思想品德 95 分,外语考试成绩比五 科考试的平均成绩低 2 分,求外语成绩和五科平均成绩。 第二章 归一问题 归一问题是常见的典型应用题之一。因为这种问题的求解,往往归结到先求出一个单位的数量(通称“单 一量” )然后再求若干个单一量是多少或某数里包含几个单一量,因此,把用这种方法解答的应用题,称为归 一问题。 归一问题可分为单归一问题(包括直进单归一、返回单归一)和复归一问题(包括直进复归一、返回复归 一)两大类。为了便于理解,结合具体题目分述如下。 (1)复归一问题 用两次归一求得单一量,再求所求数量的归一问题。 ①直进复归一问题 奥数中心教材 第6页 广东博文学校奥数中心趣味思维训练教程 五年级·上册 例 1 某工厂用 18 台车床 3 小时生产零件 1080 件, 照这样的速度, 20 台同样的车床 8 小时可生产零件多 少件?【3200 件】 例 2 某专业户承包了 5 公顷稻田,去年每公顷产水稻 12000 千克,共收入 42000 元;今年由于天旱,每 公顷减产 1500 千克, 政府为减少农民的损失, 水稻的收购价提高了 10%, 这样, 该专业户今年能收入多少元? 【40425 元】 例 3 纺织工 100 人工作 20 天可织布 200000 米,现在要织布 100000 米,由 125 人工作,需要多少天? 【8 天】 例 4 粮店上午卖出大米 5 包,重 325 千克。下午又卖出同样的 7 包。 (1)下午卖出大米多少千克?(2) 这一天共卖出大米多少千克?(3)下午比上午多卖多少千克? 解: (1)325÷5×7=455(千克) (2)325÷5×(5+7)=780(千克) (3)325÷5×(7-5)=130(千克) 例 5 一堆同样的螺丝钉,总重量是 765 克,取出 50 个后,重量为 750 克。这堆螺丝钉共有多少个【2550 (个) 】? 例 6 陈师傅加工 800 个零件,原计划 40 小时完成,实际前 6 小时生产了 150 个。照这样计算: (1)实 际几小时完成加工任务?(2)实际提前了几小时完成加工?(3)实际 40 小时加工了多少个零件?(4)实际 40 小时比计划多加工几个零件?(5)剩下的加工任务还要几小时才能完成? 例 7 修一条长 2.7 千米的公路,前 6 天修好 540 米,照这样计算,修完这条公路还要多少天?24(天) 例 8 两只大熊猫一天要吃 4 千克玉米面糕, 现在有玉米面糕 150 千克, 够 5 只大熊猫吃多少天?15 (天) 例 9 4 辆货车 7 次运煤 112 吨,现在同样的货车 5 辆运 9 次,能运多少吨?180(吨) 例 10 一台拖拉机 2.5 小时可耕地 30 公顷。以同样的效率工作,现在耕地 72 公顷,需多少小时耕完? (需 6 小时耕完) 例 11 6 辆汽车 4 小时可运面粉 720 吨,照这样计算,要运 1500 吨面粉,用 8 辆汽车运 5 小时后,还剩 下多少吨面粉没运完?(剩下 300 吨面粉没运完) 例 12 小型玉米脱粒机每分脱粒 1. 8 千克, 中型脱粒机每分脱粒 2. 4 千克, 如果把 4 台小型脱粒机 1. 5 小时脱的玉米,改用中型机来脱,限 45 分脱完,需几台中型玉米脱粒机?(需 6 台中型玉米脱粒机) 例 13 一本书稿,原计划共印 540 页,每页 24 行,每行 26 个字。现在又改为每页 30 行,这本书稿比原 计划减少多少页?(这本书稿比原计划减少 108 页) 练习 1.上海至武汉的水路长 1075 千米,轮船从上海开往武汉,前 12 小时航行 300 千米。照这样的速度,到 武汉还要多少小时? 2.面粉厂第一组运出 3 小车面粉共 720 千克,第二组用同样的小车运出面粉 1920 千克。 (1)第二组需要 几辆小车?(2)第二组比第一组多用几辆小车?(3)两组同时运共需要几辆小车? 3.36 千克绿豆可制 12 千克粉丝,要生产 144 千克粉丝,需多少千克绿豆? 4.一个施工队安装一条水管,头 6 天装了 222 米,照这样的速度,又用 15 天把水管全部安装完。这条水 管共长多少米? 5.运输队原有汽车 8 辆,一次共能运水泥 32 吨。后来又买来了几辆同样的汽车,因此一次共能运 52 吨。 问:又买来几辆汽车? 6.汽车油箱里装有汽油 36 升,行驶 100 千米后,还剩汽油 4 升。照这样计算,最多还能行驶多少千米? 7. 制帽厂原来 30 个工人, 10 天生产草帽 1500 顶, 照这样计算, 现在 70 个工人 20 天能生产草帽多少顶? 8.制帽厂原来 30 个工人 10 天生产草帽 1500 顶,照这样计算,现在人数增加了 40 人,20 天能生产草帽 多少顶? 9.制帽厂原来 30 个工人 10 天生产草帽 1500 顶,照这样计算,现在人数增加了 40 人,要生产草帽 2450 顶,需要生产多少天? 10.服装厂加工一批童装,4 天加工了 320 套,照这样的速度,再工作 7 天就可以完成任务,求:这批任 务是多少套童装?(用三种方法解答) 11. 拖拉机厂计划生产手扶拖拉机 200 台, 5 天生产了 44 台, 照这样计算, 15 天后还剩下多少台没生产? 奥数中心教材 第7页 广东博文学校奥数中心趣味思维训练教程 五年级·上册 12.灯泡车间要生产 25 度灯泡 12000 只,6 天生产了 4800 只,还需要几天才能完成任务? 13.15 辆汽车 3 天节约汽油 56.7 千克,照这样计算,25 辆汽车 7 天可以节约汽油多少千克? 14.某机械厂原来 30 人 10 天能生产 1500 个机器零件,照这样计算,现在 120 人要生产 9000 个零件,需 要多少天? 15.250 千克蓖麻籽可以榨出 100 千克蓖麻油,照这样计算,用 2000 千克蓖麻籽可以榨出多少千克蓖麻 油? 16.4 台吊车 7 小时可装煤 1414 吨,照这样计算,如果增加 5 台吊车,在同样的时间里可多装多少吨? 17.三名工人 8 小时可以安装 12 辆自行车,现在有 60 辆自行车,要求 12 小时内装完,至少要增加几名 工人? 第三章 还原问题 有的数学问题,题中叙述某一未知量,经过一系列已知的变化,最后变成另一个已知数量,要求原来未知 的数量。这类问题,我们称之为还原问题。今晚开什么特马几号。 解答还原问题,可以根据加法与减法、乘法与除法互为逆运算关系,从最后一个已知数出发,逐步逆推上 去,原来加的,运算时用减,原来减的,运算时用加;原来乘的,运算时用除;原来除的,运算时用乘,直至 把原未知数求出来为止。 例 1 同学们玩扔沙袋游戏,甲、乙两班共有 140 只沙袋,如果甲班先给乙班 5 只,乙班又给甲班 8 只, 这时两班沙袋数相等,两班原来各有沙袋多少只?(甲班原有 67 只,乙班原有 73 只) 例 2 在做一道加法试题时,某学生把个位上的 5 看作 9,把十位上的 8 看作 3,结果“和”得 123。正确 的答案是多少?(正确的答案是 169) 例 3 小马虎做一道减法题,把被减数十位的 6 当作 9,把减数个位的 3 当成 5,结果是 217,正确的答案 是多少? ((正确的答案是 189) 例 4 小军在做一道减法题的时候,真粗心!把被减数个位上的 3 错写成 8,十位上的 0 错写成 6,这样 他算得的差是 199,正确的差应该是多少? 正确的差是 134。 例 5 如果某数扩大 5 倍,再减去 6 得 39,如果这个数先减去 6,再扩大 5 倍得多少?(15) 例 6 某数加上 6,乘以 6,减去 6,除以 6,其结果等于 6,求这个数。(这个数等于 1) 例 7 有甲、乙两堆小球,各有若干个。按下面的要求移动小球:先从甲堆拿出和乙堆同样多的小球放到 乙堆;再从乙堆拿出和这时甲堆同样多的小球放到甲堆。这时,甲乙两堆的小球恰好都是 16 个。问甲乙两堆 最初各有小球多少个?(甲堆最初有 20 个小球,乙堆最初有 12 个小球) 例 8 甲、乙、丙三人共有人民币 168 元,第一次甲拿出与乙相同的钱数给乙;第二次乙拿出与丙相同的 钱数给丙;第三次丙拿出这时与甲相同的钱数给甲。这时甲、乙、丙三人的钱数恰好相等。原来甲比乙多多少 元?(甲比乙多 28 元) 例 9 有甲、乙、丙三个数,从甲数取出 15 加到乙数,从乙数取出 18 加到丙数,从丙数取出 12 加到甲 数,这时三个数都是 180,甲、乙、丙三个数原来各是多少?(甲数、乙数原来都是 183,丙数原来是 174) 例 10 小明爷爷今年的年纪减去 15 后,缩小 4 倍,再减去 6 之后,扩大 10 倍,恰好是 100 岁,请你算 一算,小明的爷爷今年多少岁?(小明爷爷是 79 岁) 例 11 某人去储蓄所取款,第一次取了存款数的一半还多 15 元,第二次取了余下的一半还多 10 元,这 时还剩 125 元,他原有存款多少元?(他原有存款 550) 例 12 书架分上、中、下三层,一共分放 192 本书。现在从上层取出与中层同样多的书放到中层,再从 中层取出与下层同样多的书放到下层, 最后从下层取出与上层剩下的本数同样多的书放到上层, 这时三层所放 的书本数相同。试问:这个书架的上、中、下层原来各有多少本书? (上层原有 88 本书,中层原有 56 本书,下层原有 48 本书) 例 13 有铅笔若干支,分给甲、乙、丙三个学生。甲得最多,乙得较少,丙得最少。后重新分配。第一 次分配,甲分给乙、丙,各给乙、丙所有数多 4 支,结果乙得最多;第二次分配,乙给甲、丙,各给甲、丙所 奥数中心教材 第8页 广东博文学校奥数中心趣味思维训练教程 五年级·上册 有数多 4 支,结果丙得最多;第三次分配,丙给甲、乙,各给甲、乙所有数多 4 支。经三次重新分配后,甲、 乙、丙三个学生各得铅笔 44 支。最初甲、乙、丙三个学生各得铅笔多少支?(最初甲有铅笔 74 支,乙有 38 支, 丙有 20 支) 例 14 将八个数从左到右排成一行,从第三个数开始,每个数都恰好等于前面两个数之和。如果第 7 个 数和第 8 个数分别是 81,131,那第一个数是 。(第一个数是 5) 例 15 一个数减去 2487,小明在计算时错把被减数百位和十位上的数交换了,结果得:8439,正确的结 果是 。 (正确的结果是 7809) 例 16 一群猴子分一堆桃子,第一个猴子取走了一半零一个,第二个猴子取走剩下的一半零一个,…… 直到第七个猴子按上述方式取完后恰好取尽。这堆桃子一共有( )个。254 个 例 17 两棵树上共有麻雀 25 只,第一棵上飞到第二棵上 5 只,又从第二棵树上飞走 7 只,这时第一棵上 的麻雀是第二棵上的 2 倍。问原来每棵上的麻雀各几只? 答:原来第一棵树上有 17 只麻雀;第二棵树上有 8 只麻雀。 练习 1.有一堆桃,第一个猴子拿走了这堆桃的一半加半个桃子,第二个猴子又拿走了剩下桃的一半加半个, 第三个猴子拿走了最后剩下的桃的一半加半个,桃子正好被拿光。问:这堆桃子原来有几个? 2.袋子里有若干个球,小明每次拿出其中的一半再放回一个球,一共这样做了五次,袋中还有 3 个球。 问:原来袋中有多少个球? 3.有一个财迷总想使自己的钱成倍增长,一天他在一座桥上碰见一个老人,老人对他说: “你只要走过这 座桥再回来, 你身上的钱就会增中一倍, 但作为报酬, 你每走一个来回要给我 32 个铜板。 ” 财迷算了算挺合算, 就同意了。他走过桥去又走回来,身上的钱果然增加了一倍,他很高兴地给了老人 32 个铜板。这样起走完第 五个来回,身上的最后 32 个铜板都给了老人,一个铜板也没剩下。问:财迷身上原有多少个铜板? 4.三堆苹果共 48 个,先从第一堆中拿出与第二堆个数相同的苹果并入第二堆,再从第二堆里拿出与第三 堆个数相同的苹果并入第三堆,最后再从第三堆里拿出与这时第一堆个数相等的苹果并入第一堆。这时,三堆 苹果数完全相同。问:原来三堆苹果各有多少个? 5.甲、乙、丙三人各有铜钱若干枚,开始甲把自己的铜钱拿出一部分给了乙、丙,使乙、丙的铜钱数各 增加了一倍;后来乙也照此办理,使甲、丙的铜线数各增加了一倍;最后丙也照此办理,使甲、乙的铜钱数各 增加了一倍。这时三人的铜钱数都是 8 枚。问:原来甲、乙、丙三人各有多少枚铜线.甲、乙、丙、丁各有若干棋子,甲先拿出自己的棋子的一部分给了乙、丙,使乙、丙每人的棋子数各 增加一倍;然后乙也把自己棋子的一部分以同样的方式分给了丙、丁,丙也把自己棋子的一部分以这种方式给 了甲、丁,最后丁也以这种方式将自己的棋子给了甲、乙,这时四人的棋子都是 16 枚。问:原来甲、乙、丙、 丁四人各有棋子多少枚? 第四章 消元问题 有的应用题由两种数的关系组成,包含着两个要求的数,解答这类应用题,必须想方设法先消去一个要 求数,求出另一个要求数,然后再求出被消去的要求数。根据解答方法的不同,消去法可分为加减消去法,比 较消去法和代入消去法。 加减消去法是应用加法和减法的运算,在两个算式条件的等式中,消去一个要求数,从而达到解答问题 的目的。 比较消去法是应用乘法或除法运算,使两个算术条件的同一个要求数在数量上相等,从而可用加减法消 去这个要求数。 代入消去法是应用加减或乘除运算,变换一个已知条件,将变换后的一个要求数代入另一个已知条件的 等式里去,从而消去这个要求数。 例 1 妈妈给小青 11.1 元,让他去买 2.5 千克香蕉、2 千克苹果,结果他把买数量颠倒了,从而还剩 下 0.06 元,那么苹果 500 克的售价是多少元? 答:500 克苹果价 1.2 元 例 2 3 袋大米和 4 袋黄豆共重 425 千克,6 袋大米和 3 袋黄豆共重 600 千克,每袋大米重多少千克? 奥数中心教材 第9页 广东博文学校奥数中心趣味思维训练教程 五年级·上册 答:每袋大米 75 千克。 例 3 “六一”儿童节,幼儿园组织家长和孩子游园,小明买了 2 个大人、3 个小孩的六票花了 1.65 元, 大力买了 3 个大人,8 个小孩的六票花了 3.35 元,大人的门票是多少元?小孩的门票是多少元? 答:大人门票每张 0.45 元,小孩门票每张 0.25。 例 4 百货店中两支圆珠笔与 3 支蘸水笔共值 7 角 8 分,3 支圆珠笔与 2 支蘸水笔共值 7 角 2 分,问 1 支 圆珠笔值多少元? 答:1 支圆珠笔价 0.12 元。 例 5 用 10 个大瓶和 6 个小瓶可以装墨水 7. 2 千克, 用 6 个大瓶和 2 个小瓶可以装墨水 4 千克, 算一算, 一个大瓶和一个小瓶各能装墨水多少千克? 答:一个大瓶墨水能装 0.6 千克墨水,一个小瓶能装 0.62 千克墨水。 例 6 康大学校购买 5 台普通书写台灯和 3 台调光书写台灯共用 147.5 元。如果 1 台调光书写台灯换加 2 台普通书写台灯要多花 7.3 元。这两种书写台灯各多少元 1 台? 答:普通书写台灯每台 15.4 元;调光书写台灯每台 23.5 元. 例 7 甲级茶叶 3 千克与乙级茶叶 5 千克价格相等,购买甲级茶叶 2 千克,乙级茶 3 千克共付 152 元.求 甲、乙两种茶叶的单价。 (1990 年蚌埠市小学数学竞赛试题) 答:甲级茶叶价每千克 40 元,乙级茶叶价每千克 24 元。 例 8 买 2 瓶白酒,12 瓶啤酒共付 42 元,已知一瓶白酒与 8 瓶啤酒价钱相等,一瓶白酒,一瓶啤酒共多 少元? 答:一瓶白酒、一瓶表皮就共 13.5 元。 ?△+○=0.9 ? 例 9 如果 ?○?□=0.2 ?□-△=0.3 ? ?△=() ? 那么 ?□=() ?○=() ? 答:△=0.2,□=0.5,○=0.7。 例 10 设 13 个李子的重量等于 2 个苹果和 1 个桃子的重量;4 个李子和 1 个苹果的重量等于 1 个桃子的 重量,多少个李子的重量等于 1 个桃子的重量? 答:7 个李子的重量等于 1 个桃子的重量。 练习 1.1 个面包和 6 个鸡蛋价值 1.8 元,同样价格下,2 个面包和 4 个鸡蛋价值 2.40 元,问 1 个面包多少 钱? 2.小木、小林、小森三人去看电影,如果用小木带的钱去买三张电影票,还差 0.55 元;如果用小林带 的钱去买三张电影票,还差 0.69 元;如果用三人带去的钱买三张电影票,就多 0.30 元,已知小森带了 0.37 元,那么买一张电影票要用多少元? 3.有 A、B、C 三种货物,甲购 A 物 3 件、B 物 5 件、C 物 1 件,付款 20 元;乙购 A 物 4 件、B 物 7 件、 C 物 1 件,付款 25 元;丙购 A、B、C 各 1 件,应付款多少元? 4.某文具店中的铅笔、彩色笔、圆珠笔用三种方式搭配装在文具匣内出售。文具匣内装 4 支铅笔售 4 元; 在同一种文具匣内装 4 支彩笔和 2 支圆珠笔售 8 元;仍在这种文具匣内装 4 支彩色笔和 2 支圆珠笔,再加 2 支铅笔售 9 元。如果在这个文具盒内装 3 支铅笔、2 支彩色笔和 1 支圆珠笔,那么售价应是多少元? 5.有甲、乙、丙三种货物,若购甲 3 件,乙 7 件,丙 1 件,共需 3.15 元,若购甲 4 件,乙 10 件,丙 1 件,共需 4.2 元,现在购甲、乙、丙各一件共需多少元。 6.2 个苹果重量-3 个桃子重量=100 克;2 个苹果重量+2 个梨重量=500 克;3 个桃子重量+1 个梨重 量=350 克。苹果、桃子、梨每个各重多少克? 7.肥料厂把肥料运到甲、 乙、 丙三个村小组,每次运的吨数和所需运费如下, 甲组三次共需运费多少元? 次数 第一次 奥数中心教材 第10页 甲组(吨) 乙组(吨) 丙组(吨) 运费(元) 4 5 6 25.5 广东博文学校奥数中心趣味思维训练教程 五年级·上册 第二次 第三次 4 5 6 7 5 5 25.7 29.4 解题思路点滴------- 等量代换法 在解答某些应用题时, 可根据题目中所给的条件, 通过等量代换, 即用一个未知数量替代其他的未知数量, 使问题的数量关系单一化,从而找到解题的方法,这种思考问题的方法,叫做代换法。 等量代换是一种解题思路,又是一种解题方法。解题的着急是怎样根据题目中的数量关系,寻找恰当的替 代方法。数学问题的核心是数量关系,代换的方向是使其变错综复杂为简单明显;代换的对象是其中的数量关 系,或使未知数量单一化,或用同一标准量来表示诸数量。总之,通过代换,要把一种数量转化成为另一种数 量,使数量关系变得单一化,从而使问题得到解决。 例 1 中华学校买来史地书、科技书、文艺书共 456 本。其中科技书是史地书的 1.2 倍,文艺书比科技 书多 31 本。三种书各买了多少本? 125(本)……(史地书) 150(本)……(科技书) 181(本)……(文艺书) 例 2 老张和老李的存款数相等,后来老张取出 500 元,老李存入 400 元,结果老李的存款数是老张的 2 倍。求老张和老李原来的存款数是多少?1400(元) 例 3 菜站运来西红柿和黄瓜共重 1660 千克,已知运来的西红柿的重量比黄瓜重量的 3 倍少 60 千克,菜 站运来西红柿和黄瓜各多少千克?430(千克)……(黄瓜)230(千克)……(西红柿) 例 4 妈妈比女儿大 27 岁,3 年前,妈妈的年龄是女儿的 4 倍,女儿现在几岁?(12 岁) 例 5 糖果店卖的水果糖、奶糖、巧克力糖有下列关系:买 1.5 千克奶糖的钱和买 2.4 千克水果糖的钱 相等;买 2 千克巧克力糖的钱与买 3 千克奶糖的钱相等。如果用买 4.5 千克巧克力糖的钱,可买水果糖多少 千克?【10.8(千克) 】 例 6 甲、乙两队共同整修一段公路。甲队工作 6 小时,乙队工作 8 小时,一共整修公路 312 米。已知甲 队 5 小时的工作量等于乙队 2 小时的工作量。 两队每小时各整修公路多少米?12 (米) …… (甲队) 30 (米) …… (乙队) 例 7 甲、乙二人合做一批零件,甲做了 8 小时,乙做了 6 小时,一共做了 360 个零件。甲 2 小时的工作 量等于乙 3 小时的工作量。两人每小时各做多少个零件? 答:甲、乙两人每小时做零件的个数分别为 20 个、30 个。 第五章 行程问题 第一节 相遇问题 在这一讲中,我们将要研究的是行程问题中一些综合性较强的题目,为此,我们需要先回顾一下已学过的 基本数量关系: 路程=速度×时间 总路程=速度和×时间 路程差=速度差×追及时间 例 1 两村相距 35 千米,甲乙两人从两村相向而行,甲先行 2 小时,已知甲每小时行 4 千米,乙每小时行 5 千米,当两人还相距 9 千米时,乙行了多少小时?【2(小时) 】 例 2 甲、乙、丙三人行路,甲每分钟走 60 米,乙每分钟走 50 米,丙每分钟走 40 米。甲从 A 地,乙和丙 从 B 地同时出发相向而行,甲和乙相遇后,过了 15 分钟又与丙相遇,求 A、B 两地间的距离。 答:A、B 两地间的距离是 16.5 千米。 奥数中心教材 第11页 广东博文学校奥数中心趣味思维训练教程 五年级·上册 例 3 甲、乙、丙是一条路上的三个车站,乙站到甲、丙两站的距离相等,小强和小明同时分别从甲、丙 两站出发相向而行,小强经过乙站 100 米时与小明相遇,然后两人又继续前进,小强走到丙站立即返回,经过 乙站 300 米时又追上小明,问:甲、乙两站的距离是多少米?(300 米) 例 5 甲、乙二个分别从 A、B 两地同时出发,如果两人同向而行,甲 26 分钟赶上乙;如果两人相向而行, 6 分钟可相遇,又已知乙每分钟行 50 米,求 A、B 两地的距离。 答:A、B 间的距离为 780 米。 例 6 一条公路上,有一个骑车人和一个步行人,骑车人速度是步行人速度的 3 倍,每隔 6 分钟有一辆公 共汽车超过步行人, 每隔 10 分钟有一辆公共汽车超过骑车人, 如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变, 那么间隔几分钟发一辆公共汽车?(5 分钟) 练习 1.晶晶每天早上步行上学,如果每分钟走 60 米,则要迟到 5 分钟,如果每分钟走 75 米,则可提前 2 分 钟到校。求晶晶到校的路程? 2.甲、乙、丙三人行路,甲每分钟走 60 米,乙每分钟走 67.5 米,丙每分钟走 75 米,甲乙从东镇去西 镇, 丙从西镇去东镇, 三人同时出发, 丙与乙相遇后, 又经过 2 分钟与甲相遇, 求东西两镇间的路程有多少米? 3.A、B 两辆汽车同进从甲、乙两站相对开出,两车第一次在距甲站 32 公里处相遇,相遇后两车继续行 驶,各自到达乙、甲两站后,立即沿原路返回,第二次在距甲站 64 公里处相遇,甲、乙两站间相距多少公里? 4.周长为 400 米的圆形跑道上,有相距 100 米的 A、B 两点,甲、乙两人分别从 A、B 两点同时相背而 跑,两人相遇后,乙立即转身与甲同向而跑,当甲跑到 A 时,乙恰好跑到 B,如果以后甲、乙跑的速度和方 向都不变,那么追上乙时,甲共跑了多少米?(从出发时算起) 5.老王从甲城骑自行车到乙城办事,每小时骑 15 千米,回来时改骑摩托车,每小时骑 33 千米,骑摩托 车比骑自行车少用 1.8 小时,求甲、乙两城间的距离。 6.速度为快、中、慢的三辆汽车同时从同一地点出发,沿同一公路追赶前面一个骑车人,这三辆车分别 用 6 分钟、10 分钟、12 分钟追上骑车人,现在知道快车每小时 24 公里,中速车每小时 20 公里,那么慢车每 次小时多少公里? 7.在环形跑道上,两人都按顺时针方向跑时,每 12 分钟相遇一次,如果两人速度不变,其中一人改成按 逆时针方向跑,每隔 4 分钟相遇一次,问两人各跑一圈需要几分钟? 第二节 追及问题 有两个人同时在行走,一个走得快,一个走得慢,当走得慢的在前,走得快的过了一些时间就能追上他。 这就产生了“追及问题” 。实质上,要算走得快的人在某一段时间内,比走得慢的人多走的距离,也就是要计 算两人走的距离之差。如果设甲走得快,乙走得慢,在相同时间内, 甲走的距离-乙走的距离 =甲的速度×时间-乙的速度×时间 =(甲的速度-乙的速度)×时间 通常, “追及问题”要考虑速度差。 例 1 小轿车的速度比面包车速度每小时快 6 千米, 小轿车和面包车同时从学校开出, 沿着同一路线行驶, 小轿车比面包车早 10 分钟到达城门,当面包车到达城门时,小轿车已离城门 9 千米,问学校到城门的距离是 多少千米? 答:学校到城门的距离是 72 千米。 例 2 小张从家到公园,原打算每分钟走 50 米。为了提早 10 分钟到,他把速度加快,每分钟走 75 米。 问家到公园多远? 答:从家到公园的距离是 1500 米。 例 3 一辆自行车在前面以固定的速度行进,有一辆汽车要去追赶。如果速度是 30 千米/小时,要 1 小时 才能追上;如果速度是 35 千米/小时,要 40 分钟才能追上。问自行车的速度是多少? 答:自行车速度是 20 千米/小时。 例 4 上午 8 点 8 分,小明骑自行车从家里出发,8 分钟后,爸爸骑摩托车去追他,在离家 4 千米的地方 追上了他。然后爸爸骑摩托车去追他,在离家 4 千米的地方追上了他。然后爸爸立即回家,到家后又立刻回头 奥数中心教材 第12页 广东博文学校奥数中心趣味思维训练教程 五年级·上册 去追小明,再追上小明的时候,离家恰好是 8 千米,这时是几点几分? 答:这时是 8 点 32 分。 例 5 小华在 8 点到 9 点之间开始解一道题,当时时针,分针正好成一直线,解完题时两针正好第一次重 合。问:小明解这道题用了多少时间? 答:小明解题共用了 32 8 分钟。 11 练习 3 1.姐姐步行的速度是 75 米/分,妹妹步行的速度是 65 米/分,在妹妹出发 20 分钟后,姐姐出发去追赶妹 妹。问:多少分钟后能追上? 2.甲、乙两车从同一地点出发,沿着同一公路追赶前面的一个骑车人。甲、乙两车分别用 6 分钟、10 分 钟追上骑车人。已知甲车速度是 24 千米/小时,乙车速度是 20 千米/小时。问两车出发时,两车所在地点离骑 车人多远? 3.家离图书馆 4.8 千米,弟弟从家出发以 60 米/分速度步行去图书馆。15 分钟后,哥哥骑自行车从家 出发去追赶弟弟,自行车的速度是 240 千米/分。问: (1)哥哥在离家多远的地方追上弟弟? (2)哥哥追上弟弟后不久到达图书馆,又马上折回过不久与弟弟相遇,那么相遇处离图书馆多远? 第三节 流水行船 船在江河里航行时,除了本身的前进速度外,还受到流水的推送或顶逆,在这种情况下计算船只的航行速 度、时间和所行的路程,叫做流水行船问题。 流水行船问题,是行程问题中的一种,因此行程问题中三个量(速度、时间、路程)的关系在这里将反复 用到,此外,流水行船问题还有以下两个基本公式: 顺水速度=船速+水速 (1) 逆水速度=船速-水速 (2) 这里,船速是指船本身的速度,也就是静水中单位时间里所走过的路程。水速,是指水在单位时间里流过 的路程,顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船的单位时间里所行的路程。 根据加减法互为逆运算的关系,由公式(1)可以得到: 水速=顺水速度-船速 船速=顺水速度-水速 由公式(2)可以得到: 水速=船速-逆水速度 船速=逆水速度+水速 这就是说,只要知道了船在静水中的速度,船的实际速度和水速这三个量中的任意两个,就可以求出第三 个量: 另外,已知船的逆水速度和顺水速度,根据公式(1)和公式(2) ,相加和相减就可以得到: 船速=(顺水速度+逆水速度)÷2 水速=(顺水速度-逆水速度)÷2 例 1 甲、乙两港间的水路长 208 千米,一只船从甲港开往乙港,顺水 8 小时到达,从乙港返回甲港,逆 水 13 小时到达,求船在静水中的速度和水流速度。 答:船在静水中的速度为每小时 21 千米,水流速度每小时 5 千米。 例 2 某船在静水中的速度是每小时 15 千米,它从上游甲地开往下游乙地共花去了 8 小时,水速每小时 3 千米,问从乙地返回甲地需要多少时间? 答:从乙地返回甲地需要 12 小时。 例 3 甲、乙两港相距 360 千米,一轮船往返两港需 35 小时,逆流航行比顺流航行多花了 5 小时,现在有 一机帆船,静水中速度是每小时 12 千米,这机帆船往返两港要多少小时? 答:机帆船往返两港要 64 小时。 下面继续研究两只船在河流中相遇问题。当甲、乙两船(甲在上游、乙在下游)在江河里相向开出,它们 奥数中心教材 第13页 广东博文学校奥数中心趣味思维训练教程 五年级·上册 单位时间靠拢的路程等于甲、乙两船速度和。这是因为: 甲船顺水速度+乙船逆水速度 =(甲船速+水速)+(乙船速-水速) =甲船船速+乙船船速 这就是说,两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样,与水速没有关系。 同样道理,如果两只船,同向运动,一只船追上另一只船所用的时间,也只与路程差和船速有关,与水速 无关,这是因为: 甲船顺水速度-乙船顺水速度 =(甲船速+水速)-(乙船速+水速) =甲船速-乙船速 如果两船逆向追赶时,也有 甲船逆水速度-乙船逆水速度 =(甲船速-水速)-(乙船速-水速) =甲船速-乙船速 这说明流水中追及问题与在静水中追及问题及两车在陆地上追及问题一样。 由上述讨论可知,解流水行船问题,更多地是把它转化为已学这的相遇和追及问题来解答。 例 4 小刚和小强租一条小船,向上游划去,不慎把水壶掉进江中,当他们发现并调过船头时,水壶与船 已经相距 2 千米,假定小船的速度是每小时 4 千米,水流速度是每小时 2 千米,那么他们追上水壶需要多少 时间? 答:他们二人追回水壶需用 0.5 小时。 例 5 甲、乙两船在静水中速度分别为每小时 24 千米和每小时 32 千米,两船从某河相距 336 千米的两港 同时出发相向而行,几小时相遇?如果同向而行,甲船在前,乙船在后,几小时后乙船追上甲船? 答:两船 6 小时相遇;乙船追上甲船需要 42 小时。 练习 1.甲、乙之间的水路是 234 千米,一只船从甲港到乙港需 9 小时,从乙港返回甲港需 13 小时,问船速和 水速各为每小时多少千米? 2. 一艘每小时行 25 千米的客轮, 在大运河中顺水流行 140 千米, 水速是每小时 3 千米, 需要行几个小时? 3.一只小船静水中速度为每小时 30 千米,在 176 千米长河中逆水而行用了 11 个小时,求返回原外需要 几个小时? 4.一只船在河里航行,顺流而下每小时行 18 千米,已知这只船下行 2 小时恰好与上行 3 小时所行的路程 相等,求船速和水速。 5.两个码头相距 352 千米,一船顺流而下,行完全程需要 11 小时,逆流而上,行完全程需要 16 小时, 求这条河水流速度。 6.A、B 两码头间河流长 90 千米,甲、乙两船分别从 A、B 码头同时启航。如果相向而行 3 小时相遇, 如果同向而行 15 小时甲船追上乙船,求两船在静水中的速度。 7.乙船顺水航行 2 小时,行了 120 千米,返回原地用了 4 小时,甲船顺水航行同一段水路,用了 3 小时, 甲船返回原地比去时多用了几小时? 8.某河有相距 45 千米的上、下两码头,每天定时有甲、乙两艘船速相同的客轮分别从两码头同时出发相 向而行,一天甲船从上游码头出发时掉下一物,此物浮于水面顺水飘下, 4 分钟后,与甲船相距 1 千米,预 计乙船出发后几小时可以与此物相遇? 第六章 列方程解应用题 列方程解应用题是用字母来代替未知数,根据等量关系列出含有未知数的等式,也就是列出方程,然后解 出未知数的值。 列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算。 解这类应用题的关键在于能够正确地 设立未知数,找出等量关系从而建立方程,而找出等理关系又在于熟练动用数量之间的各种已知条件,掌握了 这两点就能正确地列出方程。 列方程解应用题的一般步骤是: 奥数中心教材 第14页 广东博文学校奥数中心趣味思维训练教程 五年级·上册 (1)弄清题意,找出已知条件和所求问世题; (2)依题意确定等量关系,设未知数 x; (3)根据等量关系列出方程; (4)解方程; (5)检验,写出答案。 例 1 康大学校六(2)班有男生 30 人,比女生的 2 倍少 10 人,这个班女生有多少人? 答:女生有 20 人。 例 2 小明和哥哥的年龄和是 23 岁,哥哥比小明大 3 岁,问小明和哥哥各几岁? 答:小明 10 岁,哥哥 13 岁。 例 3 某班 46 名同学去划船,一共乘坐 10 只船,大船坐 6 人,小船坐 4 人,全部坐满。问大船和小船各 几只? 答:大船有 3 只,小船有 7 只。 例 4 松鼠妈妈采松子,睛天每天可采 20 个,雨天每天可采 12 个,它一连几天采了 112 个松子,平均每 天采 14 个,问这几天当中有几天有雨? 答:这几天当中有 6 天雨天。 例 5 康大学校三(2)班学生合买一件纪念品,如果每人出 6 分则多 4 角 8 分,如果每人出 5 分,则少 3 分,求这个班学生的人数。 答:这个班学生共有 51 人。 例 6 三个数的平均数是 8.6 ,其中第一个数是 9.1,第二个数比第三个数小 0.1,求第三个数。 答:第三个数是 8.4。 例 7 一个大人一餐能吃四个面包,四个幼儿一餐只吃一个面包,现有大人和幼儿共 100 人,一餐刚好吃 100 个面包,这 100 个人中,大人和幼儿各有多少人? 答:大人有 20 人,幼儿有 80 人。 例 8 一条船在两个码头之间航行,顺水行全程要 4 小时,逆水行全程要 5 小时,已知水流的速度是 2 千 米/小时。问这条船在静水中的速度是多少? 答:这条船在静水中的速度为 18 千米/小时。 例 9 解放军某部快艇追击敌舰,追到 A 岛时敌舰已逃离该岛 12 分钟,敌舰每分钟行 1000 米,我军快艇 每分钟行 1360 米。 如果距敌舰 600 米处可以开炮射击, 解放军快艇从 A 岛出发经过多少分钟可以开炮射击敌 舰? 答:解放军快艇从 A 岛出发经过 35 分钟可以开炮射出敌舰。 在列方程解应用题时,如果直接设题目里所求的未知数是 x,称这种设未知数的方法为直接设元法。有时 不直接设题目里所求的示知数是 x,而间接设题目里另一个未知数为 x,这样列方程与解方程都比较方便,称 这种设元法为间接设元法。 例 10 小李和师傅共同做一批机器零件,30 天完成了任务,已知师傅每天比小李多做 2 个,而小李在中 途请假 5 天,于是,小李完成的零件个数恰好是师傅的一半,求这批零件的总个数。 答:这批零件一共有 225 个。 例 11 男生和女生平均每人植树 16.5 棵,男生 24 人,共植树 506 棵,女生平均生人植树 11 棵。求男、 女生共植树多少棵? 答:男、女生共植树 726 棵。 例 12 三年前母亲的岁数是儿子岁数的 6 倍,今年母亲 35 岁,儿子今年几岁? 答:儿子今年 8 岁。 例 13 已知篮球、足球、排球平均每个 36 元,篮球比排球每个多 10 元,足球比排球每个多 8 元,每个足 球多少元? 答:每个足球是 38 元。 1,求这个六位数。 例 14 设六位数 abcde乘以 3 后变为 abcde 答:这个六位数是 142857。 奥数中心教材 第15页 广东博文学校奥数中心趣味思维训练教程 五年级·上册 x=142857。 例 15 一个通讯员骑自行车需 要在规定时间内把信件送到某地, 每小时走 15 千米可早到 24 分钟, 如果每小时走 12 千米就要迟 15 分钟。 求原规定时间是多少?他去某地 的路程有多远? 答:原规定时间为 3 小时,他去某地的路程为 39 千米。 例 16 甲、乙、丙、丁四人共做零件 270 个,如果甲多做 10 个,乙少做 10 个,丙做的个数乘以 2,丁做 的个数除以 2,那么四个人做的零件数恰好相等。问:丙实际做了多少个? 答:丙实际做了 30 个零件。 例 17 某农机厂加工车间 77 个工人。已知每个工人每天可以加工甲种零件 5 个或乙种零件 4 个,或丙零 件 3 个。但加工 3 个甲种零件、1 个乙种零件和 9 个丙种零件恰好配成一套。问:应安排生产甲、乙、丙种零 件各多少人,才能使生产的三种零件恰好配套? 答:应安排生产甲、乙、丙三种零件的人数分别为 12 人、5 人和 60 人。 例 18 一条船往返于甲、乙两地之间,由甲至乙是顺流行驶,由乙至甲是逆水行驶,已知船在静水中的速 度为每小时 8 千米,平时逆水与顺水所用时间为 2:1。某天恰逢暴雨,水流速度为原来的 2 倍,这条船往返 共有 9 小时。问甲、乙两地相距多远? 答:甲、乙两地相距 20 千米。 例 19 有四个数,从中每次取出三个数相加,得到四个和分别是 22、24、27 和 20,试求这四个数。 答:所求四数为 9,7,4,11。 例 20 一块长方形的地,长和宽的比是 5:3,长比宽多 24 米,这块地的面积是多少平方米? 答:这块地的面积是 2160 平方米。 练习 1.妈妈今年 50 岁,儿子今年 26 岁,几年前妈妈的年龄是儿子的 4 倍? 2.五(1)班的同学去划船,他们租了一些船,如果每船 8 人,则余 1 人,如果每船 9 人则船上有 5 个空 位,求五(1)班共有学生多少人? 3.张明从家到学校,如果以每分钟 60 米的速度走,则比以每分钟 80 米的速度多用 10 分钟。求张明家 到学校有多少米? 4.有甲乙两堆小棒,如果从甲堆拿 1 根到乙堆,则甲比乙还多 2 根;如果从乙堆拿 1 根到甲堆,www.48339.com则甲堆 的根数是乙堆的 2 倍。求甲乙两堆的小棒各多少根? 5.有甲乙两堆苹果,从甲推中拿走 2 个后,甲堆剩下的个数是乙堆的 2 倍。再从乙堆拿走 3 个苹果,这 时甲堆剩下的个数是乙堆剩下个数的 3 倍。求乙堆原来共有多少个苹果? 6.康大学校五年级有三个班,平均每班有 46 人。已知一班比二班多 9 人,二班比三班少 6 人。求五年级 一班有多少人? 7.有一个两位数,如果在其两个数字之间添一个 0,则得到的三位数是原来这个两位数的 9 倍。求原来 这个两位数是多少? 8.妈妈买回一筐苹果 ,按计划天数,如果每天吃 4 个,则多出 48 个苹果;如果每天吃 6 个,则又少 8 个苹果。问:妈妈买回苹果多少个,计划吃多少天? 9.有 50 名同学参加联欢会,第一个到会的女生同全部男生握过手;第二个到会的女生只差一个男生没握 过手;第三个到会的女生只差 2 个男生没有握过手,如此等等。最后一个女生同 7 个男生握过手,问 50 个学 生中有多少男生? 10.铁路旁的一条平行小路上,有一群人同时向南行进,行人速度为 3.6 千米/小时,骑车人速度为 10.8 千米/小时,这时有一列火车从他们背后开过来,火车通过行人用 22 秒钟,通过骑车人用 26 秒钟,这列火车 身总长是多少? 11.某图书馆原有科技书、文艺书共 630 本,其中科技书占 20%,后来又买进一些科技书,这时科技书 占总数的 30%。买进科技书多少本? 12.在环行跑道上,两人都按顺时针方向跑马观花时,每 12 分钟相遇一次,如果两人速度不变,其中一 个改成按逆时针方向跑,每隔 4 分钟相遇一次,问两人各跑一圈需要几分钟? 奥数中心教材 第16页 广东博文学校奥数中心趣味思维训练教程 五年级·上册 13.某人在公路上行走,往返公共汽车每隔 4 分钟就有一辆与此人迎面相遇,每隔 6 分钟就有一辆从背后 超过此人。如果人与汽车均为匀速运动,问汽车站每隔几分钟发一班车? 14.康大五年级二班举行一次数学测验,采用 5 级计分制(5 分最高,4 分次之,以此类推)男生平均成 绩为 4 分,女生的平均成绩为 3,25 分,而全班的平均成绩为 3.6 分。如果该班的人数介于 30 与 50 之间,问 有多少男生和女生参加了测验? 15.甲、乙二人做同一个数的带余除法,甲将其除以 8,乙将其除以 9,甲所得的商数与乙所得的余数之 和为 13,试求甲所得的余数。 16.妈妈带一些钱去买布,买 2 米布后还剩下 1.80 元;如果买同样的布4米则差 2.40 元。问:妈妈带 了多少钱? 17.第一车间工人人数是第二车间工人人数的 3 倍,如果从第一车间调 20-名工人去第二车间,则两个 车间的人数相等,求原来两个车间各有工人多少名? 18,两个水池共贮水 40 吨,甲池注进 4 吨,乙池放出 8 吨,甲池水的吨数与乙池水的吨数相等,两上水 池原来各贮水多少吨? 19,两堆煤,甲堆煤有 4.5 吨,乙堆煤有 6 吨,甲堆煤每天用去 0.36 吨,乙堆煤每天用去 0.51 吨。 几天后两堆煤剩下吨数相等? 20.小龙、小虎、小方和小圆四个孩子共有 45 个球,但不知道每个人各有几个球,如果变动一下,小龙 的球减少 2 个, 小虎的球增加 2 个, 小方的球增加一倍, 小圆的球减少一半, 那么四个人球的个数就一样多了。 求原来每个人各有几个球? 21.有一批旅游者需用轿车接送,轿车有甲、乙两种,用 3 辆甲种轿车,4 辆乙种轿车(恰满载)需跑 5 趟;如果用 5 辆甲种轿车和 3 辆乙种轿车(恰满载)只需跑 4 趟,请问哪种轿车从的乘客多? 第七章 容斥原理 边长是 4 厘米与边长是 5 厘米的两个正方形,如右图放在桌面上(阴影部分是两正方形重叠部分) ,试求 覆盖桌面的面积。解决这一问题,如只 简单地把两个面积相加 (4×4+5×5=41) 显然是 2 错误的,这是因为我们多计算了一块阴 影部分的面积。 这个面积是 2 ÷2=2 (平方厘米) , 4 2 2 所以要将这块面积排除掉。 覆盖面积是: 42+52-22÷2=39 (平 方厘米) 。上例告诉我们,要求覆盖桌面的面积是 5 多大。可以先将这两个面积加起来,然 后减去重叠部分。 同样,在数的计算中,也有类似的 问题。如:六(1)班同学在《少年报》和《儿童 世界》两种报刊中,至少要订一份。其中,订阅《少年报》的有 25 人,订《儿童世界》的有 31 人,订阅两种 报刊的有 4 人,求六(1)班学生数。 要求六(1)班学生数,不能简单地用 25+31 直接求得,这是因为重复包含的 4 人加了两次,所以,六 (1)班人数应为 25+31-4=52(人) 。 以上两例告诉我们,这种有重复包含的问题,解题时应考虑排除由于相互包含而多计算的部分。这一原 理,我们称为包含排除原理。即容斥原理。正确运用这一原理,可以帮助我们解答抽象的数学问题。 例 1 求 50 以内 5 的倍数和 7 的倍数的数的个数。 答:50 以内 5 的倍数和 7 的倍数的个数是 16。 例 2 在 1 到 500 这 500 个数中,不能被 7 和 9 整除的数共有多少个? 答:在 1~500 这 500 个数中,有 381 个数不能被 7 和 9 整除。 例 3 某班 50 个学生每人至少参加一个兴趣小组,其中有 37 人参加科技组,25 人参加作文组,求同时 参加两个兴趣小组的人数相当于全班人数的百分之几? 答:两组都参加的人数占全班人数的 24%。 例 4 50 名同学参加兴趣小组,参加生物组的 40 人,参加数学组的 28 人,两个兴趣小组均参加的有几 人?只参加生物组跟只参加数学组人数的比是多少? 答:只参加生物组跟只参加数学组人数的比是 11∶5。 例 5 一家电维修站,有 80%的人精通彩电修理业务,有 70%的人精通冰箱修理业务,10%的人两项业务 都不熟悉,求两项业务都精通的人占总数的百分之几? 奥数中心教材 第17页 广东博文学校奥数中心趣味思维训练教程 五年级·上册 答:两项业务都精通的占总人数的 60%。 例 6 如右图所示,三个正方形面积分别为 25 平方厘米,16 平方厘米,9 平方厘米,它们叠在一起,盖 住的面积为 32 平方厘米, 且甲与乙公 共部分为 10 平方厘米, 乙与丙公共部分为 6 平方 甲 厘米,甲、丙公共部分为 7 平方厘米, 求阴影部分的面积。 答:阴影部分的面积为 5 平方厘 米。 例 7 全班同学对作文、数学、 自然三科中至少有一门感兴趣, 其中 30 人喜欢作 乙 文,32 人喜欢数学,21 人喜欢自然, 既喜欢作文又喜欢数学的 15 人, 既喜欢数学又喜 丙 欢自然的 12 人, 既喜欢作文又喜欢自 然的 14 人, 三门都喜欢的有 8 人, 求全班总人数? 答:全班总人数是 50 人。 例 8 某班有 52 人,其中会下棋的有 48 人,会画画的有 37 人,会跳舞的有 39 人,这个班三项都会的至 少有几人? 答:这个班三项都会的至少有 20 人。 例 9 每边长为 10 厘米的正方形纸片,正中间挖一个正方形的洞,成为宽 1 厘米的方框把五个这样的方 框放在桌面上,成为右图的图案。问桌面上被这些方框盖住部分的面积是多少平方厘米?(首届华罗庚金杯赛 初赛试题)172(平方厘米) 练习 1.六(1)班 54 名学生都订了报纸,其中订阅《儿童报》的有 34 人,订阅《少年的》的有 30 人,有多少订 阅了两种报纸? 2.1~200 中,能被 3 和 5 整除的数共有多少个? 3.1~1000 中不能被 5 和 7 整除的数共有多少个? 4.五(1)班有 58 人参加三项课外活动小组,其中 32 人参加文学组,24 人参加美术组,30 人参加音乐组, 既参加文学组又参加 美术组的有 13 人,既参加美术组又参加音乐 组的有 12 人, 既参加 文学组又参加音乐组的有 11 人,三项活动小 D B 组都参加的有几人? 5.如图,△ABC 是直 A C 角三角形,AC= 4 厘米, BC= 1 AC ,以 2 BC、AC 分别为直 径画半圆,两个半圆的交点 D 在 AB 边上, 求图中阴影部分的 面积。 6.两辆汽车从 A、B 两地同时出发相向 而行,客车每小时行 32 千米,货车每小时行 30 千米,两车相遇后又离去。已知出发 5 小时后两车相距 93 千米,求 AB 两地相距多少千米? 7.100 个学生中,每人至少懂一种外语,其中 75 人懂法语,83 人懂英语,65 人懂日语,懂三种语言的有 50 人,懂得两种外语的有几人? 8.100 个青年中,会骑自行车的 83 人,会游泳的 75 人,两样都不会的有 10 人,两样都会的有几人? 9.康大学校第 14 届秋季运动会中,参加 100 米短跑的共 156 人,比参加 200 米短跑的少 40 人,比参加 50 米短跑的多 26 人,同时参加 100 米和 50 米短跑的有 74 人,同时参加 200 米和 100 米的有 80 人,是同时参 加 50 米和 200 米人数的 2 倍,同时参加 50 米、100 米和 200 米的有 30 人,求这届运动会中参加 50、100 米和 200 米的共有多少人? 10.五(6)班有 54 人参加秋游活动其中 35 人喜欢玩“捉特务” ,45 人喜欢玩“老鹰捉小鸡” ,40 人喜欢踢足 球,50 人喜欢跳牛皮筋,你是否可以肯定这个班至少有多少学生对这四项活动都喜欢。 11.康大六校五年二班学生参加语文、数学、英语三科考试,90 分以上的语文有 21 人,数学有 19 人,英语 有 20 人,语文、数学都在 90 分以上的有 9 人,数学、英语在 90 分以上的有 7 人,语文、英语都在 90 分以 上的有 8 人,另有 5 人三科都在 90 分以下,这个班最多能有多少人? 12.分母是 385 的最简真分数共有多少个? 奥数中心教材 第18页 广东博文学校奥数中心趣味思维训练教程 五年级·上册 解题思路点滴-------- 对应法 依据问题中数量之间的对应关系来解题的方法叫做对应法。在现实生活中,存在着大量的数量对应关系, 如买 15 本书需 150 元,15 本与 150 元是数量与总价的对应;3 小时行 120 千米,3 小时与 120 千米是时间与 所行路程的对应;一条路的 3 3 是 600 千米, 与 600 千米是分率与具体数量的对应……对应关系是数量之间 5 5 最明显的关系,也是数量之间转换的钥匙,因此,对应思想是一种最基本的辩证思维。试分析下面各题中的对 应量。 1.文艺书是科技书的 2 倍,连环画是科技书的 3 倍。 已知文艺书有 500 本, 科技书、连环画各有多少本? 250(本)……科技书的本数 750(本)……连环画的本数 2.甲打字员每小时打 1960 字,乙打字员每小时打 2000 字,一份书稿甲打字员打了 5 小时后,由乙打字 员接着打,又过了 4 小时正好打完。这份书稿共有多少字? 例 1 明明到超市买鱼,第一次用 15 元钱买回 3 千克鱼,第二次买同样的鱼多花了 10 元钱,第二次比第 一次多买回鱼多少千克?(鱼的价格不变)2 千克 例 2 粮站运回面粉 4500 千克,大米 15000 千克。每袋面粉 25 千克,每袋大米 75 千克。运回的大米比面 粉多多少袋?(20 袋) 例 3 小花家养的羊和鸡共 36 只,并知羊和鸡的脚的只数一样多,算一算,小花家养的羊和鸡各多少只? (24 只) 例 4 飞机 3 小时飞行 2250 千米, 汽车 8 小时行 320 千米, 飞机每小时飞行的速度比汽车快多少千米?(71 千米) 例 5 两列火车分别从甲、乙两站相对开出,甲火车每小时行 49.8 千米,乙火车每小时行 48.5 千米, 如果相遇时甲火车比乙火车多行了 2.6 千米,求相遇时甲、乙两火车各行了多少千米?(97 千米) 例 6 汽车第一天行了 3 小时,第二天行了 4 小时,第三天行了 5 小时。第一、二天共行了 280 千米,第 二、三天共行了 360 千米,汽车平均每小时行多少千米?(40 千米) 例 7 康大学校买来 15 个篮球和 10 个足球,共用 545 元。已知一个篮球和一个足球共 42.5 元,求每个 篮球、足球各多少元?(18.5,24) 练习 1.一箱鸡蛋重 40 千克,一箱鸭蛋重 42 千克。一个收购站运进鸡蛋 50 箱,鸭蛋 60 箱,运进的鸭蛋比鸡 蛋多多少千克? 2.两块地收了同样多的苹果,从第一块地里运走 32000 千克,还剩下 97600 千克,从第二块地里运走的 苹果是第一块地里运走的 3 倍。第二块地里还剩苹果多少千克? 3.从甲村到乙村正好翻一座小山,甲村在山南,乙村在山北,南坡长 200 米,北坡长 400 米。一天张峰 同志从甲村到乙村办事,他上坡时每分走 40 米,下坡时每分走 50 米。张峰同志在乙村办完事之后又原路返回 甲村,张峰同志从甲村到乙村往返一次共用多少时间? 4.甲、乙二人同时从 A 地去相距 90 千米的 B 地,甲的速度是乙的 3 倍,甲比乙早到 3 小时。甲、乙两 人的速度各是多少? 5.一个气象小组在一周内,每天早晨 8 点测得室外的温度分别是:18 度、17 度、18 度、14 度、16 度、 15 度、`4 度。求这一周早晨 8 点室外的平均温度是多少? 6.高级奶糖每千克 10 元,普通奶糖每千克 6 元,水果糖每千克 2 元,现将 2 千克高级奶糖、3 千克普通 奶糖和 5 千克水果糖混合在一起。问这种杂拌糖每千克多少元? 7.水果店运进一批水果,苹果的重量是梨的 3 倍,西瓜的重量是苹果的 4 倍。已知梨比苹果少 240 千克, 三种水果各运进多少千克? 解题思路点滴-----设数法 有些数学题涉及的概念易被混淆,解题时把握不定,还有些数学题是要求两个(或几个)数量间的等量关 系或者倍数关系,但已知条件却十分抽象,数量关系又很复杂,凭空思索,则不易捉摸。为了使数量关系变得 奥数中心教材 第19页 广东博文学校奥数中心趣味思维训练教程 五年级·上册 简单明白。可以给题中的某一个未知量适当地设一个具体数值,以利于探索解答问题的规律,正确求得问题的 答案。这种方法就是设数法。设数法是假设法的一种特例。 给哪一个未知量设数,要便于快速解题。为了使计算简便。数字尽可能小一点。在分数应用题中,所设的 数以能被分母整除为好。若单位“1”未知,就给单位“1”设具体数值。 例 1 判断下面各题。 (对的打√,错的打×) (1)除 1 以外,所有自然数的倒数都小于 1。 ( ) (2)正方体的棱长和它的体积成正比例。 ( ) 例 2 六年级同学中,男生人数比女生人数多 答:女生人数比男生人数多 1 ,女生人数比男生人数少几分之几? 3 1 。 4 1 5 1 ,那么需要多 3 例 3 某人骑自行车从 A 地往 B 地。去时用了 1 小时,沿原路回家时,速度比原来加快 少小时? 答:回家时需要 9 小时。 10 例 4 已知甲校学生数是乙校学生数的 40%,甲校女生数是甲校学生数的 30%,乙校男生数是乙校学生数 的 42%,那么,两校女生总数占两校学生总数的百分比是 。 答:两校女生总数是两校学生总数的 50%。 例 5 如图,正方形面积为 20 平方厘米,求阴影部分的面积。 答:阴影部分的面积为 4.3 平方厘米。 解题思路点滴---归纳与递推 归纳与递推是数学竞赛中考查的重要方法。其中归纳有完全归纳法(如枚举法)和不完全归纳法;递推法 有正向递推法,也有逆向递推法。 例 1 在下面各列数中的横线 3 (2) ,1, , , 3 6 4 (1) , , 6 ; 7 3 ; 2 (3)1,2,4,8, ,32; (4)1,10,19,28, ,46; (5)1,3,7,13, ,31; (6)1,3,8,15, ,35; (7)1,3,4,7,。